Infinitos, infinitésimos y comparaciones

    Infinitos e infinitésimos

  -El infinito es una función en un punto


  f se dice infinito en x0(siendo + o - infinito o un número real) si         cuando x tiende a x0    ===>lim f(x)= ±infinito

  Ejemplos:  1/x² en +infinito,  x en +infinito,  -5x³ 

    
  f se dice infinitésimo en x0 si cuando x tiende a x0  ===>lim f(x)=0

  Ejemplos:  1/x en +infinito,  senx en 0,  x² en 0

  Comparación de infinitos

  f y g son infinitos en x0
  
  x=>x0     lim f(x)=±infinito

  x=>x0     lim g(x)=±infinito


  cuando  x=>x0     lim f(x)/lim g(x)= infinito/infinito
  hay 3 opciones, que sea:

  1)  ±infinito => Se dice que f es de orden superior a g



  2)  número real => Se dice que f es del mismo orden que g
      
       Cuando el cociente es 1 son infinitos equivalentes
       

  3) 0 => Se dice que f es inferior a g



  Ejemplo:

  f(x)= 3x² + 2x - 1  es infinito en +infinito

  g(x)= 3x²  es infinito en +infinito

   si  f es equivalente a g
  
  x=>+infinito  lim 3x²+2x-1/3x² = infinito/infinito =

  = lim 1+(2/3x)-(1/3x²) = 1



  Proposición: En un caso de un producto o un cociente si un factor   es infinito puedo sustituirlo por un infinito equivalente.


  Ejemplo: 

   x=>+infinito   lim 3x²+2x-1/-2x³ +5x-3 = lim 3x²/-2x³ =
  
   = lim 3/-2x = 0

  Comparación de infinitésimos

  f y g sin infinitésimos en x0


  x=> x0    lim f(x)=0     
  x=>x0   lim g(x)=0

  Si  lim  f(x)/g(x)=0/0  hay tres opciones

  1)  ±infinito
  
  2)  número real 

  3)  0


  Proposición: En un caso de un producto o un cociente si un factor   es infinitésimo puedo sustituirlo por un infinitésimo equivalente.


  Ejemplo:

  x=>0   lim senx/x = 0/0 = 1
  
  senx es equivalente a x

   x=>0   lim (2sen²x/x)/5x² = 0/0 = lim 2x²/5x²
  

continuidad

  Límites funcionales de las funciones elementales


  Comprende las funciones constante y identidad

 1) Constante  limk=k=f(x0)  f es continua en x0       x=>x0


  limk=k        x=>+infinito


 2) Función identidad f(x)=x
    
    limx=-infinito          x=>-infinito


    limx=xo=f(xo)

    limx=+infinito             x=>+infinito



 Operaciones con funciones y limites funcionales


 f se dice continua en xo si...


 1)Existe limite de f(x)

 2)Existe f en xo

 3)El limite de f(x) es igual a f en xoo

 Para que una función sea continua la primera debe de cumplirse y  pueden fallar la dos y la tres y sería una dicontinuidad evitable en  x0




 Continuidad lateral en un punto: f es continua en x0 cuando lo es   por la izquierda y la derecha de x0



 limf(x) no es igual a limf(x) si al menos uno de ellos es +infinito o  -infinito. Es una discontinuidad de salto infinito


 Discontinuidades:

 -de salto finito: Es evitable
 -de salto infinito: 1ª especie
 -asintótica: 2ª especie. Cuando al menos uno de los limites laterales  no existe es de 2ª especie


 Función continua:Una función es continua cuando es continua en todos los puntos de su dominio.

La continuidad puede ser en un punto, global o en un intervalo

Estudio de una función

Para el estudio de una función debemos conocer y estudiar las siguientes características:

 -Dominio: Se denomina Dom f. Es el subconjunto de números  reales en el que se define una función. El conjunto de elementos  que tienen imagen.

 -Gráfica: Es un tipo de representación de datos (generalmente  números) mediante líneas, vectores o símbolos para que se  manifieste la relación matemática o estadística entre ellos.


 -Imagen: La imagen es el conjunto formado por  todos los valores que puede llegar a tomar una función. Se escribe  como imf . 


 -sobreyectividad: Una función es sobreyectiva cuando cada elemento de y es la imagen de por lo menos un elemento de x

 -Inyectividad: Una función es inyectiva si a elementos distintos del  conjunto x les corresponder elementos distintos del conjunto y. Es  decir, no puede haber dos elementos o más de x que tengan la  misma imagen.

 -Ordenada en el origen: En una ecuación: y = mx + b 
 m es la pendiente y b es la ordenada en el origen. Es el término
 que no contiene a la x, es decir, el término independiente.



 -Continuidad: Las funciones son continuas en todos los puntos de  su dominio. Por ejemplo una función que tenga de dominio R - 3  cuando x=3 la función no es continua.


 -Acotación: Una función f está acotada inferiormente por un  número real P si todos los valores que toma la función son mayores  o iguales que P. A su vez una función f está acotada superiormente  por por un número real K si todos los valores que toma la función son menores o iguales que K.


 -Monotonía: La monotonía de una función te indica el crecimiento  o decrecimiento de una función.

La maldad humana

Nos surgen muchas dudas sobre la maldad. ¿Se puede medir? ¿Hasta donde podemos llegar? ¿Cuál es el origen del mal en la conducta humana? ¿Tiene el mal un lugar específico en el cerebro? ¿Cuánto poder ejerce la sociedad sobre nosotros?

Han creado un nuevo concurso televisivo en el que se hace un experimento similar a los que hacía Stanley Milgram ya en los años 60. Estos experimentos tienen como finalidad conocer el impacto de la autoridad en la obediencia de la población. El concurso consiste en que cuando un compañero tuyo falla una pregunta del cuestionario debes realizarle descargas eléctricas. Según vaya fallando las descargas serán mayores. A pesar de que los concursantes no quieran seguir, la presentadora les ejerce presión para que sigan y...¿adivináis? siguen. Este concurso es una farsa y las descargas eléctricas no son reales pero ni los concursantes ni el público lo sabe, según les han dicho las descargas eléctricas pueden llegar a ser letales. Este experimento esta hecho para conocer hasta donde puede llegar la televisión. ¿Hasta un homicidio? ¿Es que no tiene límites?. Por todos es sabido que la televisión tiene un gran poder y este poder puede ejercernos presión. La televisión tiene programas que derrochan "maldad" ya sea un programa en el que su única finalidad sea mostrar accidentes o torturas como soltar a un concursante en agua hirviendo o divertirse quemándole. También hay otros niveles de maldad como contratar a modelos para romper parejas o incluso jugar a la ruleta rusa con su consecuente muerte si sale la bala. y... ¿adivinan?. Sí, este último obtuvo máxima audiencia. En resumen la televisión utiliza crueldad, humillación, violencia... Pero no solo la televisión. Este es tan solo un ejemplo de los muchos que hay.


Visto esto y como supongo que ya sabréis la sociedad es mala. Pero... ¿El que la sociedad sea mala nos hace ser malos a nosotros? Yo, la verdad, no lo sé. Lo que si que se es que influye sobre nosotros, más incluso de lo que pensamos. Y la otra gran pregunta es...¿ En que medida somos seres generosos, altruistas, cariñosos etc si somos capaces de aceptar esto?