Exámen para casa

1.- Definición de incentro de un triángulo. Calcula, paso a paso, utilizando WIRIS, el área de la región plana comprendida entre la circunferencia inscrita y la circunferencia circunscrita al triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 3 unidades y el ángulo comprendido entre dichos lados mide 0’5 radianes. ¿Dicha región es una corona circular? Razona tu respuesta. Dibuja dicha región utilizando GEOGEBRA y PAINT. Guarda en tu carpeta de trabajo los correspondientes archivos.

Aquí podemos ver el ejercicio resuelto por geogebra wiris y paint

No es una corona circular porque las dos circunferencias no son concéntricas.

2.- Se quiere reconstruir la ubicación y las dimensiones de un claustro de forma cuadrada desaparecido y del que se ha encontrado su pozo. Se tienen dudas de la ubicación del pozo en relación al claustro pero se sabe que dicho pozo distaba 30, 40 y 50 m de las esquinas del claustro. Utiliza WIRIS para realizar los cálculos paso a paso y dibuja la solución con GEOGEBRA. Guarda en tu carpeta de trabajo los correspondientes archivos.

Aquí esta el ejercicio resuelto con geogebra

Hecho por: Claudia San Juan y Pablo Peribáñez

Resolución de triángulos cualesquiera

Resolver un triángulo es determinar todos sus elementos desconocidos.

Para que tres segmentos sean lados de un triángulo la medida de cada uno de los segmentos debe ser menor que la suma d los otros dos y mayor que su diferencia.


Ejemplo:

4cm + 2cm > 5cm > 4cm - 2cm


5cm + 2cm > 4cm > 5cm - 2cm


5cm + 4cm > 2cm > 5cm - 4cm



Para resolver un triángulo cualquiera tenemos que tener en cuenta:

- La suma de sus ángulos es igual a 180º

- Teorema del seno ( a/senA = b/senB = c/senC )

- Teorema del coseno 

 a² = b² + c² - 2 * b * c * cosA

 b² = a² + c² - 2 * a * c * cosB

 c² =a² + b² - 2 * b * a * cosC


Un triángulo queda determinado cuando conocemos como mínimo 3 de sus elementos, excepto que sean 3 ángulos.



Ejemplo:

·Resuelve el triángulo ABC de la figura del que conocemos un lado    y 2 ángulos:

Como nos dan un lado y dos ángulos tenemos que usar el teorema del seno.
                                                                                                            

 Puesto que entre los tres ángulos tienen que sumar 180º

180º - 60º - 40º = 80º





a/sen60º = 5cm/sen80º

a = (5 * √3/2 ) / 0,98 = 4,418cm

5/sen80º = b/sen40º

b = ( 5 * 0,64) / 0,98 = 3,279cm

Teorema del seno y teorema del coseno

Teorema del seno

a/senA = b/senB = c/ senC

senA = h/b  ==>   h = b * senA

senB = h/a ==>    h = a * senB

b * senA = a * senB

En un triángulo cualquiera los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

Teorema del coseno

a² = b² + c² - 2 * c * b * cosA

b² = a² + c² - 2 * a * c * cosB

c² = a² + b² - 2 * a * b *cosC

a² = h² + z²   ==========

===> a² = ( b² - u²) - ( c - u)²

b² = h² + u²  ==>  h² = b² - u²

a² = c² + u² - 2 * c * u + b² - u² = c² + b² - 2 * c * u

z = c - u

Razones trigonométricas de cualquier águlo

Razones trigonométricas de cualquier ángulo

El seno de 0º siempre va a ser 0

El coseno de 0º es 1



El seno de 90º ("pi"/2) es 1

El coseno de 90º ("pi"/2) es 0

seno de alfa es  y/1 = y       =>    el seno de alfa es mayor que cero

coseno de alfa es  x/1 = x   =>  el coseno de alfa es mayor que cero

tangente de alfa es  y/x      => la tangente de alfa es mayor que cero

seno de beta es  y    
el seno de beta es positivo

coseno de beta es  -x 
el coseno de beta es negativo

tangente de beta es  y/-x
la tangente de beta es negativa

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

En el sistema internacional medimos los ángulos en radianes.


180º  = "pi" 

así que 60º será un tercio de 

eso, es decir, "pi"/3






Un ángulo agudo tiene que estar entre 0º y "pi"/2 ,es decir, 90º


                   30º (1/6 * "pi")        45º (1/4 * "pi")        60º (1/3 * "pi")


Grados
sexagesimales   30º                         45º                         60º



radianes            "pi"/6                    "pi"/4                       "pi"/3



seno                   1/2                       √2/2                     √3/2



coseno            √3/2                     √2/2                     1/2



tangente          √3/3                    1                           √3/3



secante            2√3/2                  √2                         2



cosecante        2                          √2                        2


  cotangente       √3                       1                          √3/3


     



                     

Inecuaciones polinómicas de 2º grado

Inecuaciones polinómicas de 2º grado

Las inecuaciones polinómicas de segundo grado son aquellas que tienen una incógnita elevada al cuadrado.

ax² + bx + c > o = 0     ==>    a distinto de 0

x² - 6x + 5 > o = 0   

x = 1   y    x = 5      luego  ==>   (x - 1) * (x - 5) = 0

Las raíces de un polinomio de 2º grado pueden ser:

Inecuaciones racionales

Pueden ser del tipo:

Ahora vamos a ver un ejemplo (no se me carga la imagen después la subo)

Inecuaciones/sistema de inecuaciones con una incógnita

Inecuación

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas.

ax > b            ax < b            ax > o = b           ax < o = b


Hacemos una proposición:

1) a < b  =>   a + c = b + c

2) a > b  =>  a * c = b * c


Ejemplo:

ax - b > 0          si a > 0   =>    x > b/a

                         si a < 0    =>    x < b/a



( 2x / 6 )   -   ( (3 + x) / 4 )   < o =   4 + ( 2x - 2 ) / 3


( 4x + 3 ( 3 + x ) ) / 12   < o = ( 12 * ( 4 ) + 4 * (2x - 2 ) ) / 12


2x > o = 6

x > o = 6/2

x > o = 3   ==>    conjunto:    S = {X E R / X > 0 = 3 } =

 = ( 3 + infinito)          * (el guión rojo es cerrado)
   
     

Sistema de inecuaciones con una incógnita

Se resuelve cada inecuación por separado, la solución del sistema es la intersección de ambas inecuaciones. 

Ejemplo:

La primera inecuación esta resuelta a la izquierda y la segunda en la derecha. Para hallar la solución hacemos la intersección de las dos inecuaciones

Ecuaciones logarítmicas

Ecuaciones logarítmicas

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en las que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

loga m = z         

           z

m = a 

Propiedades de los logaritmos

a)   loga 1 = 0

b)  loga a = 1

                 n

c)   loga a  = n

d)   loga (x/y) =  loga x + loga y

e)   loga (x - y) = logax + logay

              n

f)  loga x = n * loga x

g) loga (raíz enésima de x) = (1/n) * loga x

Ecuaciones exponenciales

Ecuaciones exponenciales

Una ecuación exponencial es aquella que la incógnita está en el exponente.

Reducibles a una igualdad que tenga potencias de las mismas bases:

  

        3x 

3 * 4     =  768

  3x 

4    =  768/3

  3x 

4     =  256

     3x 

(2²)    =  256

  6x            8

2    =  2

6x  =  8

x  = 8/6 = 4/3

 Resueltas por cambio de variable:

Siendo 3x = y

  x                     x

9   -  8  *  3    -  5913 = 0

     x  ²                     x

(3 )   -  8  *  3  -  5913 = 0

y ²   -  8y  -  5913 = 0

y  = ( 8± √64 - 4 * (-5913) ) / 2   

y = 81        y = - 73