Ejercicio número 44

Resuelve el sistema de ecuaciones

log_{2 (x - y) = 2}      

log₂ x - log_{2 y = 1}

_{x - y = 2}²

log_{2 (x/y) = 1   =>  x/y = 2   =>  x = 2y}

_{2y -y = 4   =>  y = 4}

_{x = 2 * 4 = 8}

Ejercicio número 18

Enuncia el teorema del factor:

Cuando dividimos p(x) entre x-a teniendo resto 0 y cociente c(x) entonces p(a) será igual a 0. (a es raíz de p(x)).

Aplicalo para factorizar:

           
                 5                           4
p(x)= x   -   5√2 * x   +   20X³   -   20√2 * X²   +   20x   -   4√2


Sabiendo que √2 es una raíz de multiplicidad 5


   
               1       -5√2       20       -20√2       20       -4√2

    √2              √2          -8       12√2       -16        4√2
                                                                             
             1      -4√2       12        -8√2         4           0   


                          4                             
p(x)= (x - √2) * ( x   -   4√2 * X³    +   12X²   -8√2 * x   +   4)

Transformaciones elementales sobre una ecuación y sobre un sistema

Sistemas equivalentes: son los que tienen la misma solución




Transformaciones elementales de una ecuación


Si realizamos sobre una ecuación transformaciones elementales esta será equivalente.

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

x + y - 5 = 0         ===>  Ecuación 1  : E1
3x - 3y - 13 = 0    ===>  Ecuación 2  : E2



Transformaciones elementales sobre un sistema


1) Intercambiar dos ecuaciones E1<=>E2

2x + 3y - 13 = 0  

x + y - 5 = 0       

2) Sustituir una ecuación por ella misma multiplicada por un número distinto de 0

2x + 2y - 10 = 0    <= (*2)

2x + 3y - 13 = 0  


3) Sustituir una ecuación por ella misma más 1 escalar por otra ecuación

x + y - 5 = 0
0x + y -15 = 0    <= *-2


4) En un sistema si una de las incógnitas está despejada hay que sustituir dicha expresión en el resto de mismas incógnitas

2x + y - 3 = 0           Sy ====>     2x+ (x - 5) - 3 = 0
y = x - 5                                         y = x - 5



5) Eliminar toda ecuación que tenga coeficiente 0

Sistema de ecuaciones

Sistema de ecuaciones

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman  un problema matemático. 

Para hacer soluciones tenemos que coger un valor cualquiera para x y despejamos la y.

Podemos ver algunas soluciones las que llamamos soluciones particulares y que tan solo son una pequeña parte de todas las soluciones. 


Y todas las soluciones se pueden expresar así: siendo x racional

 y = (5 - 2x)/3

Ecuaciones de grado mayor de dos y ecuaciones irracionales

Ecuaciones de grado mayor de dos

X³ + 4X² + 3x = 0           x(X² + 4x + 3) = 0   obligatoriamente tiene                                                                          que ser 0

· x = 0 

· X² + 4x + 3 = 0

   

      4

 x  - 3x³ - 13x²  - 9x + 30 = 0   usamos divisores de 30 para                                                                encontrar las raíces enteras.

Ecuaciones irracionales

√x² - 1 + 1 = x

√x² = x -1

x² - 1 = x² + 1 - 2x

2x = 2

x = 2/2 = 1

Solución extraña          

   *hay que tener mucho cuidado con                                                       elevar al cuadrado.

x  = 1   =>      x² = 1

                       x =  ±1   => esto es lo que llamamos solución extraña

Fórmulas de Cardano

  Fórmulas de Cardano

Para ecuaciones de segundo grado Cardano establece una relación entre las raíces de un polinomio y sus coeficientes.

Ecuaciones equivalentes

Ecuaciones equivalentes

Observación: cuando una relación es simétrica usamos el plural, es decir, dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.

Propopsicion:     

1) Si a dos números equivalentes les sumamos otro seguirán siendo equivalentes. ej:  a = b  <=>  a + c = b + c

2) Si a dos números les multiplicamos por otro distinto de cero son equivalentes. ej:  a = b  => a * c = b * c         c no = a 0

Resolver:      (x + 3)/(x - 1)  =  (x - 2)/(X² - 1)

  (x + 3)/(x - 1)  =  (x - 2)/(X² - 1) ==> Multiplicamos ambas por un                                                                mismo número.

X² + 4x + 3 = x - 2

X² + 3x +5 = 0  ===> Ahora tenemos una ecuación polinómica de                                       segundo grado.

Ecuaciones polinómicas

Las ecuaciones polinómicas son expresiones algebraicas y aquellas equivalentes a una ecuación cuyo primer término es un polinomio y el segundo es cero.

Una ecuación polinómica de grado n se podría poner de la siguiente manera:

                   n

p(x) = an * x +...+ a1 * x + a0 


                          
p(x) = 0   ===>  Expresión algebraica.  

 x indica el grado del polinomio  



Ejemplo:


(x + 5)/2 - x/3 = x - (2x + 1)/2     

·hacemos lo que llamamos "quitar el denominador"

3(x + 5) - 2x = 6x - 3 * (2x + 1)

3x + 15 - 2x = 6x - 6x - 3

x + 15 = -3

x = -18   

*En el último paso lo que en verdad hemos hecho ha sido sumar a los dos miembros -15

Y si en vez de hacer el último paso pasamos el -3 al otro miembro la ecuación tendría esta forma   ==> x + 18 = 0 o sea  p(x) = 0


Otro ejemplo:


2x + 6 = 0

2x = -6

x = (-6)/2 

x = -3



Ejercicio propuesto:

El profesor nos ha propuesto un ejercicio

ax + b = 0

x = (-b)/a    *Pero: Si a es cero no puede haber solución real.
                               Si a y b son cero hay infinitas soluciones.
                                              Si a y b no son igual a 0 hay solución real.

Ecuación bicuadrado

Factoriza  

                            4                         
                      X    +  4X²   +    16               * Es una ecuación bicuadrado


                            4                    
                X   +  4X²  +   16   Cambiamos de incógnita   X²  =  t


              t²  +  4t  +  16  =  0 

                t  =  (-4 ± √16 - 4 * 16) / 2  

  podemos ver que no pertenece a los números racionales


 p(x) no tiene raíces reales

 vemos que     X² + 8X² + 4 es el cuadrado de una suma (X² + 4)²

así que a la ecuación le tenemos que sumar y restar 4X² para que de esto


                             4                 
                X  + 4X²  + 16 + 4X² - 4X²

                   
                            4              
                X  + 4X²  + 16 + 4X² - 4X² = (X² + 4)²  - 4X² =


         = ( X² + 2x + 4) * ( X² - 2x + 4)

Proposición (raíces enteras de un polinomio natural)

Proposición

p(x) = an * x^n + an-1 * x^n-1 +...+ a1 * x + a0                        a no es igual a 0

                                                                                 ai pertenece a Z

Proposición:

Si a perteneciente a Z es raíz de p(x) entonces a/a0

Proposición contrarecíproca:

a perteneciente a Z  

si a no se divide entre a0 entonces a no es raíz de p(x)

Factoriza   p(x) 3X³+6X²-3X-6

Buscamos divisores de -6 : ±1, ±2, ±3, ±6

Se puede comprobar si es raíz de dos formas:

la 1º   p(1) = 3*1³ + 6 *1² -3*1 -6  etc

y la 2º por lo que vulgarmente llamamos regla de Fuffini

               3       6       -3       -6

         1             3        9         6

       ________________________

               3       9        6         0   ==> p(1) = 0

p(x) = (x-1) * (3x² + 9x + 6)


Proposición   p(x) = ax² + bx + c

  Si  x1, x2 son raíces de p(x)  entonces  p(x) = a * (x-1) * (x-2)

 p(x) = 0      3x² + 9x + 6 ===> x = -1   y x = -2



p(x) = (x-1) * 3 * (x + 1) * (x -2) = 3 (x-1) * (x + 1)  * (x-2)

        

Reflexión

Polémica generada en EEUU

 Enlace:  http://www.publico.es/sociedad/en-las-redes/polemica-eeuu-no-igual.html  

El resumen de la noticia es que a un niño de EEUU le han corregido un ejercicio como si lo tuviese erróneo, el problema está en que en el ejercicio ponía que se resolviera 5 * 3 sin usar la multiplicación y el niño puso 5+5+5=15 , lo cual está bien y la profesora se lo tacho y puso 3+3+3+3+3=15 basándose en que la propiedad de la multiplicación dice que hay que sumar al segundo número tantas veces como sea el valor del primero. 

La profesora se lo puso mal porque quería que el niño usara esa propiedad, pero aparte de que el niño hizo bien el problema la profesora se olvidó de otra propiedad de la multiplicación tan importante como es: el orden de los factores no altera el producto.

En mi opinión la profesora le corrigió mal porque al tacharle el ejercicio negó que el orden de los factores no altera el producto.