Ecuaciones equivalentes

Ecuaciones equivalentes

Observación: cuando una relación es simétrica usamos el plural, es decir, dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.

Propopsicion:     

1) Si a dos números equivalentes les sumamos otro seguirán siendo equivalentes. ej:  a = b  <=>  a + c = b + c

2) Si a dos números les multiplicamos por otro distinto de cero son equivalentes. ej:  a = b  => a * c = b * c         c no = a 0

Resolver:      (x + 3)/(x - 1)  =  (x - 2)/(X² - 1)

  (x + 3)/(x - 1)  =  (x - 2)/(X² - 1) ==> Multiplicamos ambas por un                                                                mismo número.

X² + 4x + 3 = x - 2

X² + 3x +5 = 0  ===> Ahora tenemos una ecuación polinómica de                                       segundo grado.

Ecuaciones polinómicas

Las ecuaciones polinómicas son expresiones algebraicas y aquellas equivalentes a una ecuación cuyo primer término es un polinomio y el segundo es cero.

Una ecuación polinómica de grado n se podría poner de la siguiente manera:

                   n

p(x) = an * x +...+ a1 * x + a0 


                          
p(x) = 0   ===>  Expresión algebraica.  

 x indica el grado del polinomio  



Ejemplo:


(x + 5)/2 - x/3 = x - (2x + 1)/2     

·hacemos lo que llamamos "quitar el denominador"

3(x + 5) - 2x = 6x - 3 * (2x + 1)

3x + 15 - 2x = 6x - 6x - 3

x + 15 = -3

x = -18   

*En el último paso lo que en verdad hemos hecho ha sido sumar a los dos miembros -15

Y si en vez de hacer el último paso pasamos el -3 al otro miembro la ecuación tendría esta forma   ==> x + 18 = 0 o sea  p(x) = 0


Otro ejemplo:


2x + 6 = 0

2x = -6

x = (-6)/2 

x = -3



Ejercicio propuesto:

El profesor nos ha propuesto un ejercicio

ax + b = 0

x = (-b)/a    *Pero: Si a es cero no puede haber solución real.
                               Si a y b son cero hay infinitas soluciones.
                                              Si a y b no son igual a 0 hay solución real.

Ecuación bicuadrado

Factoriza  

                            4                         
                      X    +  4X²   +    16               * Es una ecuación bicuadrado


                            4                    
                X   +  4X²  +   16   Cambiamos de incógnita   X²  =  t


              t²  +  4t  +  16  =  0 

                t  =  (-4 ± √16 - 4 * 16) / 2  

  podemos ver que no pertenece a los números racionales


 p(x) no tiene raíces reales

 vemos que     X² + 8X² + 4 es el cuadrado de una suma (X² + 4)²

así que a la ecuación le tenemos que sumar y restar 4X² para que de esto


                             4                 
                X  + 4X²  + 16 + 4X² - 4X²

                   
                            4              
                X  + 4X²  + 16 + 4X² - 4X² = (X² + 4)²  - 4X² =


         = ( X² + 2x + 4) * ( X² - 2x + 4)

Proposición (raíces enteras de un polinomio natural)

Proposición

p(x) = an * x^n + an-1 * x^n-1 +...+ a1 * x + a0                        a no es igual a 0

                                                                                 ai pertenece a Z

Proposición:

Si a perteneciente a Z es raíz de p(x) entonces a/a0

Proposición contrarecíproca:

a perteneciente a Z  

si a no se divide entre a0 entonces a no es raíz de p(x)

Factoriza   p(x) 3X³+6X²-3X-6

Buscamos divisores de -6 : ±1, ±2, ±3, ±6

Se puede comprobar si es raíz de dos formas:

la 1º   p(1) = 3*1³ + 6 *1² -3*1 -6  etc

y la 2º por lo que vulgarmente llamamos regla de Fuffini

               3       6       -3       -6

         1             3        9         6

       ________________________

               3       9        6         0   ==> p(1) = 0

p(x) = (x-1) * (3x² + 9x + 6)


Proposición   p(x) = ax² + bx + c

  Si  x1, x2 son raíces de p(x)  entonces  p(x) = a * (x-1) * (x-2)

 p(x) = 0      3x² + 9x + 6 ===> x = -1   y x = -2



p(x) = (x-1) * 3 * (x + 1) * (x -2) = 3 (x-1) * (x + 1)  * (x-2)

        

Reflexión

Polémica generada en EEUU

 Enlace:  http://www.publico.es/sociedad/en-las-redes/polemica-eeuu-no-igual.html  

El resumen de la noticia es que a un niño de EEUU le han corregido un ejercicio como si lo tuviese erróneo, el problema está en que en el ejercicio ponía que se resolviera 5 * 3 sin usar la multiplicación y el niño puso 5+5+5=15 , lo cual está bien y la profesora se lo tacho y puso 3+3+3+3+3=15 basándose en que la propiedad de la multiplicación dice que hay que sumar al segundo número tantas veces como sea el valor del primero. 

La profesora se lo puso mal porque quería que el niño usara esa propiedad, pero aparte de que el niño hizo bien el problema la profesora se olvidó de otra propiedad de la multiplicación tan importante como es: el orden de los factores no altera el producto.

En mi opinión la profesora le corrigió mal porque al tacharle el ejercicio negó que el orden de los factores no altera el producto.

Factoriza el polinomio

Factoriza el polinomio

p(x) =  X² +  (2√5) x + 2√5

Factorizar => buscar una raíz de p(x) => p(x)=0


 Usamos este ejemplo:

X² +  (2√5) x + 2√5 = 0

Utilizamos la fórmula para factorizar polinomios. Podemos ver cual es la parte a , b y c del polinomio.

Ahora otro polinomio:



p(x) = 6X² + 7x -3    =>     6X² + 7x -3 = 0

 lo igualamos a cero y vemos que es una ecuación de segundo grado así que usamos la fórmula para resolver las fórmulas de segundo grado:


 X=(+- B -√B²-4*A*C)/2*A = > => =>  X=(-7+-√49-4*6(-3))/2*6

  X=(-7+-√49-4*6(-3))/2*6   =  ( -7+-√121)/12     =    


  =   (-7+-11)/12  los dos resultados son: 1/3 y -3/2



x  -  1/3  es divisor de p(x)

buscamos divisiones con lo que vulgarmente llamamos regla de Ruffini:


 6X² + 7x -3 = (x - 1/3) * c(x)


                      6     7      -3

         1/3               2       3                      c(x)  6x + 9          
                 _______________
                 
                      6     9      0
                  


6X² + 7x -3  =  (x - 1/3) * (6x + 9)

Teorema del factor

El Teorema el factor

· x - a es un factor de P(x)  si solo si  a es raíz de P(x)

· x - a divide a p(x)

· p(x) es múltiplo de x - a

Demostración: