Teorema del seno y teorema del coseno

Teorema del seno

a/senA = b/senB = c/ senC

senA = h/b  ==>   h = b * senA

senB = h/a ==>    h = a * senB

b * senA = a * senB

En un triángulo cualquiera los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

Teorema del coseno

a² = b² + c² - 2 * c * b * cosA

b² = a² + c² - 2 * a * c * cosB

c² = a² + b² - 2 * a * b *cosC

a² = h² + z²   ==========

===> a² = ( b² - u²) - ( c - u)²

b² = h² + u²  ==>  h² = b² - u²

a² = c² + u² - 2 * c * u + b² - u² = c² + b² - 2 * c * u

z = c - u

Razones trigonométricas de cualquier águlo

Razones trigonométricas de cualquier ángulo

El seno de 0º siempre va a ser 0

El coseno de 0º es 1



El seno de 90º ("pi"/2) es 1

El coseno de 90º ("pi"/2) es 0

seno de alfa es  y/1 = y       =>    el seno de alfa es mayor que cero

coseno de alfa es  x/1 = x   =>  el coseno de alfa es mayor que cero

tangente de alfa es  y/x      => la tangente de alfa es mayor que cero

seno de beta es  y    
el seno de beta es positivo

coseno de beta es  -x 
el coseno de beta es negativo

tangente de beta es  y/-x
la tangente de beta es negativa

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

En el sistema internacional medimos los ángulos en radianes.


180º  = "pi" 

así que 60º será un tercio de 

eso, es decir, "pi"/3






Un ángulo agudo tiene que estar entre 0º y "pi"/2 ,es decir, 90º


                   30º (1/6 * "pi")        45º (1/4 * "pi")        60º (1/3 * "pi")


Grados
sexagesimales   30º                         45º                         60º



radianes            "pi"/6                    "pi"/4                       "pi"/3



seno                   1/2                       √2/2                     √3/2



coseno            √3/2                     √2/2                     1/2



tangente          √3/3                    1                           √3/3



secante            2√3/2                  √2                         2



cosecante        2                          √2                        2


  cotangente       √3                       1                          √3/3


     



                     

Inecuaciones polinómicas de 2º grado

Inecuaciones polinómicas de 2º grado

Las inecuaciones polinómicas de segundo grado son aquellas que tienen una incógnita elevada al cuadrado.

ax² + bx + c > o = 0     ==>    a distinto de 0

x² - 6x + 5 > o = 0   

x = 1   y    x = 5      luego  ==>   (x - 1) * (x - 5) = 0

Las raíces de un polinomio de 2º grado pueden ser:

Inecuaciones racionales

Pueden ser del tipo:

Ahora vamos a ver un ejemplo (no se me carga la imagen después la subo)

Inecuaciones/sistema de inecuaciones con una incógnita

Inecuación

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas.

ax > b            ax < b            ax > o = b           ax < o = b


Hacemos una proposición:

1) a < b  =>   a + c = b + c

2) a > b  =>  a * c = b * c


Ejemplo:

ax - b > 0          si a > 0   =>    x > b/a

                         si a < 0    =>    x < b/a



( 2x / 6 )   -   ( (3 + x) / 4 )   < o =   4 + ( 2x - 2 ) / 3


( 4x + 3 ( 3 + x ) ) / 12   < o = ( 12 * ( 4 ) + 4 * (2x - 2 ) ) / 12


2x > o = 6

x > o = 6/2

x > o = 3   ==>    conjunto:    S = {X E R / X > 0 = 3 } =

 = ( 3 + infinito)          * (el guión rojo es cerrado)
   
     

Sistema de inecuaciones con una incógnita

Se resuelve cada inecuación por separado, la solución del sistema es la intersección de ambas inecuaciones. 

Ejemplo:

La primera inecuación esta resuelta a la izquierda y la segunda en la derecha. Para hallar la solución hacemos la intersección de las dos inecuaciones

Ecuaciones logarítmicas

Ecuaciones logarítmicas

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en las que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

loga m = z         

           z

m = a 

Propiedades de los logaritmos

a)   loga 1 = 0

b)  loga a = 1

                 n

c)   loga a  = n

d)   loga (x/y) =  loga x + loga y

e)   loga (x - y) = logax + logay

              n

f)  loga x = n * loga x

g) loga (raíz enésima de x) = (1/n) * loga x

Ecuaciones exponenciales

Ecuaciones exponenciales

Una ecuación exponencial es aquella que la incógnita está en el exponente.

Reducibles a una igualdad que tenga potencias de las mismas bases:

  

        3x 

3 * 4     =  768

  3x 

4    =  768/3

  3x 

4     =  256

     3x 

(2²)    =  256

  6x            8

2    =  2

6x  =  8

x  = 8/6 = 4/3

 Resueltas por cambio de variable:

Siendo 3x = y

  x                     x

9   -  8  *  3    -  5913 = 0

     x  ²                     x

(3 )   -  8  *  3  -  5913 = 0

y ²   -  8y  -  5913 = 0

y  = ( 8± √64 - 4 * (-5913) ) / 2   

y = 81        y = - 73