Infinitos, infinitésimos y comparaciones

    Infinitos e infinitésimos

  -El infinito es una función en un punto


  f se dice infinito en x0(siendo + o - infinito o un número real) si         cuando x tiende a x0    ===>lim f(x)= ±infinito

  Ejemplos:  1/x² en +infinito,  x en +infinito,  -5x³ 

    
  f se dice infinitésimo en x0 si cuando x tiende a x0  ===>lim f(x)=0

  Ejemplos:  1/x en +infinito,  senx en 0,  x² en 0

  Comparación de infinitos

  f y g son infinitos en x0
  
  x=>x0     lim f(x)=±infinito

  x=>x0     lim g(x)=±infinito


  cuando  x=>x0     lim f(x)/lim g(x)= infinito/infinito
  hay 3 opciones, que sea:

  1)  ±infinito => Se dice que f es de orden superior a g



  2)  número real => Se dice que f es del mismo orden que g
      
       Cuando el cociente es 1 son infinitos equivalentes
       

  3) 0 => Se dice que f es inferior a g



  Ejemplo:

  f(x)= 3x² + 2x - 1  es infinito en +infinito

  g(x)= 3x²  es infinito en +infinito

   si  f es equivalente a g
  
  x=>+infinito  lim 3x²+2x-1/3x² = infinito/infinito =

  = lim 1+(2/3x)-(1/3x²) = 1



  Proposición: En un caso de un producto o un cociente si un factor   es infinito puedo sustituirlo por un infinito equivalente.


  Ejemplo: 

   x=>+infinito   lim 3x²+2x-1/-2x³ +5x-3 = lim 3x²/-2x³ =
  
   = lim 3/-2x = 0

  Comparación de infinitésimos

  f y g sin infinitésimos en x0


  x=> x0    lim f(x)=0     
  x=>x0   lim g(x)=0

  Si  lim  f(x)/g(x)=0/0  hay tres opciones

  1)  ±infinito
  
  2)  número real 

  3)  0


  Proposición: En un caso de un producto o un cociente si un factor   es infinitésimo puedo sustituirlo por un infinitésimo equivalente.


  Ejemplo:

  x=>0   lim senx/x = 0/0 = 1
  
  senx es equivalente a x

   x=>0   lim (2sen²x/x)/5x² = 0/0 = lim 2x²/5x²